- ナッシュ均衡について知りたい人
- ナッシュ均衡をわかりやすく知りたい人
東工大生れんこんにちは、経営工学を専攻しているれんです
今回は、ナッシュ均衡をわかりやすく解説していこうと思います。
ナッシュ均衡はゲーム理論の序盤で学習するものの、なんとなく理解できていない点も多いかと思います。
そこで今回は、ナッシュ均衡をどこよりもわかりやすく解説していこうかと思います。
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ゲーム理論におけるナッシュ均衡とは
まずは、ナッシュ均衡について簡単に解説していこうかと思います。
東工大生れんわかりやすく具体的に解説していきますね！
ナッシュ均衡の定義
まずは、ナッシュ均衡の定義に関してです。
$(s^_1, s^_2, …, s^_i, …, s^_n)$がナッシュ均衡 $\Leftrightarrow$
全ての$i\in N$について、全ての$s_i\in S_i$に対し
$f_i(s^_1, s^_2, …, s^_i, …, s^_n) \geqq f_i(s^_1, s^_2, …, s_i, …, s*_n)$が成り立つ
定義だけをみても、あまりよくわからないかと思います。
そこで、具体例を交えて解説していこうかと思います。
ナッシュ均衡の具体例
まずは、AさんとBさんがお祭りの屋台を出店する場合を考えていきます。
お祭りの屋台で、たこ焼きと焼きそばのお店を出店すると考えたときに、AさんとBさんの利得が以下のようになると仮定します。
| Aさん\Bさん | たこ焼き | 焼きそば |
| たこ焼き | (2, 2) | (4, 6) |
| 焼きそば | (6, 4) | (3, 3) |
東工大生れん上の表で左側がAさんの利得、右側がBさんの利得になっています
まずは、Bさんがたこ焼き屋さんを出店することを考えましょう。
| Aさん\Bさん | たこ焼き | 焼きそば |
| たこ焼き | (2, 2) | (4, 6) |
| 焼きそば | (6, 4) | (3, 3) |
Aさんの利得は、たこ焼きを選択した場合は2、焼きそばを選択した場合は6になります。
東工大生れんつまり、この場合（Bさんがたこ焼きを選択する場合）
Aさんは「焼きそば」を選択した方が利得が大きくなります！
ここから先は、ナッシュ均衡を求める具体的なステップとして詳しく紹介していきます。
ナッシュ均衡を求める具体的なステップ
ナッシュ均衡を求めるステップとしては問題によりますが、簡単なものはかなり簡単です。
先ほどの屋台の出店を例に解説していこうかともいます。
東工大生れん一つずつ丁寧に解説していくので頑張ってついてきてくださいね！
ナッシュ均衡の求め方①：相手の戦略に対して最適な戦略を求める
まず、この問題をみたときにしなければならないことは相手の戦略に対して最適な戦略を見つけるということです。
東工大生れんわかりやすく具体的に求めていきますね！
先ほど、Bさんがたこ焼き店を出店する場合のAさんの最適戦略を求めたので、次はBさんが焼きそば店を出店する場合を考えていきます。
| Aさん\Bさん | たこ焼き | 焼きそば |
| たこ焼き | (2, 2) | (4, 6) |
| 焼きそば | (6, 4) | (3, 3) |
すると、Aさんはたこ焼き店を出店すると利得が4となり、焼きそば店を出店すると利得は3になります。
東工大生れんつまり、Aさんはたこ焼き店を出店した方が利得が大きくなります！
これと同じように、Aさんがたこ焼き店を出店する場合も考えていきます。
| Aさん\Bさん | たこ焼き | 焼きそば |
| たこ焼き | (2, 2) | (4, 6) |
| 焼きそば | (6, 4) | (3, 3) |
東工大生れん利得をそれぞれ比較するとどちらの戦略を取るべきかわかりますか・・・？
Bさんは、たこ焼きを選択すると利得が２、焼きそばを選択すると利得が６となるので、焼きそばを選択した方が利得が大きくなることがわかります。
東工大生れん慣れてくれば簡単ですね！
同様に、Aさんが焼きそば店を出店する場合は以下のようになります。
| Aさん\Bさん | たこ焼き | 焼きそば |
| たこ焼き | (2, 2) | (4, 6) |
| 焼きそば | (6, 4) | (3, 3) |
この場合は、Bさんはたこ焼き店を出店するのが良いということがわかりますね！
東工大生れんここまでくればあと少しです
ナッシュ均衡の求め方②：双方の最適反応戦略の組みを求める
続いてのステップとしては、双方の最適戦略を同時にみたす戦略の組みを見つけるという作業に入ります。
東工大生れんやり方はとても簡単なのでぜひ真似してみてください！
①：Aさんの最適反応戦略を表に書き込む
まずは、Aさんの最適反応戦略を表に書き込みます。
東工大生れん最適反応戦略とは、相手の戦略に対して自分の利得を最大化するような戦略のことを指します
具体的に述べると、Bさんがたこ焼きを選択する場合にAさんが取るべき戦略のことです。
Bさんのそれぞれの戦略に対して、Aさんが取るべき戦略に下線を引いていきます。
| Aさん\Bさん | たこ焼き | 焼きそば |
| たこ焼き | (2, 2) | (4, 6) |
| 焼きそば | (6, 4) | (3, 3) |
東工大生れん実際に問題を解く際は、利得の下に線を引くなどしてわかりやすくしておきましょう！
今回は、Aさんの最適反応戦略を取ったときの利得を赤線で表現しています。
②：Bさんの最適反応戦略を表に書き込む
次に、Bさんの最適反応戦略を表に書き込みます。
| Aさん\Bさん | たこ焼き | 焼きそば |
| たこ焼き | (2, 2) | (4, 6) |
| 焼きそば | (6, 4) | (3, 3) |
Bさんの最適反応戦略のときの利得を青色で表現しています。
そして、AさんとBさんの最適反応戦略の組みが同時にみたす戦略の組みをナッシュ均衡と呼びます。
今回の場合だと、$(たこ焼き, 焼きそば)$と$(焼きそば, たこ焼き)$が純粋戦略でのナッシュ均衡になります。
東工大生れん混合戦略ナッシュ均衡に関してはこちらの記事を参考にしてください！
参考：混合戦略ナッシュ均衡｜誰でも５分で混合戦略ナッシュ均衡が求められます
また、例題に関しても随時更新していく予定です。
東工大生れん記事を最後まで読んでいただき、ありがとうございます！
最後に、３分だけ時間をください！
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