ゲーム理論

ナッシュ均衡|わかりやすく純粋戦略ナッシュ均衡を解説します|例題つき

こんな人におすすめ
  • ナッシュ均衡について知りたい人
  • ナッシュ均衡をわかりやすく知りたい人

こんにちは、経営工学を専攻しているれんです。

今回は、ナッシュ均衡をわかりやすく解説していこうと思います。

ナッシュ均衡はゲーム理論の序盤で学習するものの、なんとなく理解できていない点も多いかと思います。

そこで今回は、ナッシュ均衡をどこよりもわかりやすく解説していこうかと思います。

ゲーム理論におけるナッシュ均衡とは

まずは、ナッシュ均衡について簡単に解説していこうかと思います。

れん
れん
わかりやすく具体的に解説していきます

ナッシュ均衡の定義

まずは、ナッシュ均衡の定義に関してです。

ナッシュ均衡の定義

$(s^*_1, s^*_2, …, s^*_i, …, s^*_n)$がナッシュ均衡 $\Leftrightarrow$

全ての$i\in N$について、全ての$s_i\in S_i$に対し

$f_i(s^*_1, s^*_2, …, s^*_i, …, s^*_n) \geqq f_i(s^*_1, s^*_2, …, s_i, …, s*_n)$が成り立つ

定義だけをみても、あまりよくわからないかと思います。

そこで、具体例を交えて解説していこうかと思います。

ナッシュ均衡の具体例

まずは、AさんとBさんがお祭りの屋台を出店する場合を考えていきます。

お祭りの屋台で、たこ焼きと焼きそばのお店を出店すると考えたときに、AさんとBさんの利得が以下のようになると仮定します。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)
れん
れん
上の表で左側がAさんの利得、右側がBさんの利得になっています。

まずは、Bさんがたこ焼き屋さんを出店することを考えましょう。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)

Aさんの利得は、たこ焼きを選択した場合は2、焼きそばを選択した場合は6になります。

れん
れん
つまりこの場合は「焼きそば」を選択するのが良いということになりますね!

ここから先は、ナッシュ均衡を求める具体的なステップとして詳しく紹介していきます。

ナッシュ均衡を求める具体的なステップ

ナッシュ均衡を求めるステップとしては問題によりますが、簡単なものはかなり簡単です。

先ほどの屋台の出店を例に解説していこうかともいます。

ナッシュ均衡の求め方①:相手の戦略に対して最適な戦略を求める

クリックすると問題が見れます

問題

まずは、AさんとBさんがお祭りの屋台を出店する場合を考えていきます。

お祭りの屋台で、たこ焼きと焼きそばのお店を出店すると考えたときに、AさんとBさんの利得が以下のようになると仮定します。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)

この時のナッシュ均衡を求めよ。

まず、この問題をみたときにしなければならないことは相手の戦略に対して最適な戦略を見つけるということです。

れん
れん
わかりやすく具体的に求めていきますね!

先ほど、Bさんがたこ焼き店を出店する場合のAさんの最適戦略を求めたので、次はBさんが焼きそば店を出店する場合を考えていきます。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)

すると、Aさんはたこ焼き店を出店すると利得が4となり、焼きそば店を出店すると利得は3になります。

れん
れん
つまり、Aさんはたこ焼き店を出店するのがいいということになります

これと同じように、Aさんがたこ焼き店を出店する場合も考えていきます。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)

これを見ると、Bさんは焼きそば店を出店するのが良いとわかります。

同様に、Aさんが焼きそば店を出店する場合は以下のようになります。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)

この場合は、Bさんはたこ焼き店を出店するのが良いということがわかりますね!

れん
れん
ここまで来れば、あと少しです!

ナッシュ均衡の求め方②:双方の最適反応戦略の組みを求める

続いてのステップとしては、双方の最適戦略を同時にみたす戦略の組みを見つけるという作業に入ります。

れん
れん
やり方としてはとても簡単ですよ!

①:Aさんの最適反応戦略を表に書き込む

まずは、Aさんの最適反応戦略を表に書き込みます。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)

わかりやすく、Aさんの最適反応戦略のときの利得を赤色で表現しています。

②:Bさんの最適反応戦略を表に書き込む

次に、Bさんの最適反応戦略を表に書き込みます。

Aさん\Bさん たこ焼き 焼きそば
たこ焼き (2, 2) (4, 6)
焼きそば (6, 4) (3, 3)

Bさんの最適反応戦略のときの利得を青色で表現しています。

そして、AさんとBさんの最適反応戦略の組みが同時にみたす戦略の組みをナッシュ均衡と呼びます。

今回の場合だと、$(たこ焼き, 焼きそば)$と$(焼きそば, たこ焼き)$が純粋戦略でのナッシュ均衡になります。

れん
れん
混合戦略におけるナッシュ均衡に関してはまた別記事で紹介していきますね!

ナッシュ均衡に関する例題