混合戦略ナッシュ均衡｜誰でも５分で混合戦略ナッシュ均衡が求められます

前回では、純粋戦略ナッシュ均衡の求め方について紹介していきました。

純粋戦略ナッシュ均衡をマスターした次には、混合戦略ナッシュ均衡を求めることができるようになりましょう。

今回は、基本的なパターンの混合戦略ナッシュ均衡の求め方を紹介していきます。

基礎ができるようになれば、ゲーム理論を制したと言っても過言ではありません。

それくらい重要な考え方なので、ぜひマスターしてくださいね。

そもそも混合戦略ってどういうこと？

まずは、混合戦略について簡単に説明していこうかと思います。

前回の純粋戦略ナッシュ均衡を求める時に、屋台の出店について取り上げました。

この場合、AさんもBさんもたこ焼き店か焼きそば店のどちらか一方を出店するのが純粋戦略です。

一方、混合戦略とは、例えば$1/3$の確率でたこ焼き店、$2/3$の確率で焼きそば店を出店するというものです。

混合戦略ナッシュ均衡の求め方(2×2)の場合

それでは、混合戦略ナッシュ均衡の求め方を解説していきます。

2×2の混合戦略ナッシュ均衡を求めるステップとしては以下の通りです。

少し話がそれましたが、混合戦略ナッシュ均衡は、以下のように求めることができます。

①：各プレイヤーの戦略の確率を$p$と$q$を用いて表現する

まず、2×2の混合戦略ナッシュ均衡を求める問題と出会った時には、各プレイヤーが戦略を選ぶ確率を$p$と$q$を用いて表します。

例えば、Aさんがたこ焼きを選ぶ確率を$p$とします。

すると、Aさんが焼きそば店を選択する確率はどのように表せるでしょうか。

そうですね。$1 – p$と表現できます。

Aさんと同じようにBさんがたこ焼きを選ぶ確率を$q$とすると、どうなるでしょうか。

ここまで理解できたら、次のステップに移動していきます。

②：各プレイヤーの期待値を求める

次にするべきことは、各プレイヤーの期待値を求めることです。

まずは、Aさんの期待を求めていきましょう。

	確率	$q$	$1-q$
確率	Aさん\Bさん	たこ焼き	焼きそば
$p$	たこ焼き	(2, 3)	(4, 6)
$1-p$	焼きそば	(6, 4)	(2, 3)

この時、Aさんの期待値は以下の通りになります。

$E_A =$ $p \times {2q + 4(1-q)} $ $+$ $(1-p) \times {6q + 2(1-q)}$

赤線部分が、Aさんがたこ焼きを選択した時の期待値、青線部分がAさんが焼きそばを選択した時の期待値です。

これをさらに以下のように変形していきます。

$E_A =$ $p(2q +4 – 4q)$ $+ (1-q)(6q + 2 – 2q)$

$= p(4 – 2q) + (1-q)(4q + 2)$

$=$ $p(2-6q)$ $+$ $4q + 2$

式変形のポイントとしては、Pさんの意思が関わっている部分とそうでない部分に分けることです。

つまり、今回の例でいくと、$p$が含まれている部分(赤線)とそれ以外に分けるということです。

ここまでできれば、ほとんどやることは終わったと言っても過言ではありません。

③：期待値が最大になるような組み合わせを見つける

そして、最後にやることは期待値が最大になるような組み合わせを見つけるということです。

②で、AさんとBさんの期待値を実際に求めることができました。

そこで、この期待値の式を利用してAさんとBさんの期待値を最大にするような戦略を見つけていくことにします。

Aさんの期待値を最大にする戦略

Aさんの期待値は、$E_A=$ $p(2-6q)$ $+$ $4q + 2$で表すことができます。

赤線部分をみてみると、$(2-6q)$が正か負かで$p$の値が変わってくることはわかるでしょうか。

つまり、

ということになります。

これをBさんも同様に計算していきます。

Bさんの期待値を最大にする戦略

次に、Bさんの期待値を最大にする戦略を計算していきます。

Bさんの期待値、$E_B =$ $q(1 – 4p)$ $+ 3p + 3$のどこに着目するべきかはもう大丈夫でしょうか？

$1 – 4p$の正負によって、$q$が変化していくので場合わけをしていきます。

③：最適反応戦略を図示して答えを導く

そして最後に、最適反応戦略を図示して答えを導いていきます。

黄緑色がAさんの行動、赤色がBさんの行動になっています。

Aさんの最適戦略とBさんの最適戦略の交点が混合ナッシュ均衡になります。

そのため、今回の混合戦略ナッシュ均衡は以下のようになります。

(Aさんの戦略, Bさんの戦略) = $((0, 1), (1, 0))$, $((\frac{1}{4}, \frac{3}{4}), (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}))$, $((1, 0), (0, 1))$

演習問題も、今後用意していくのでぜひ参考にしてくださいね。