ゲーム理論

マックスミニ戦略とミニマックス戦略|意味や求め方をわかりやすく解説

こんな人におすすめ
  • ゲーム理論を学んでいる大学生
  • 2人ゼロ和ゲームを学んでいる学生
  • ミニマックス戦略やマックスミニ戦略がこんがらがってしまう方

今回は、ゲーム理論の2人ゼロサムゲームで登場するマックスミニ戦略やミニマックス戦略について紹介していこうかと思います。

ミニマックス戦略と聞いても、ミニなのかマックスなのかごっちゃになりやすいですよね。

れん
れん
僕自身も最初は意味がわかりませんでした。。。

ですが、この記事を読めば完璧に理解できます。

授業のスライドとは異なり、わかりやすく解説していくので一緒に頑張りましょう!

マックスミニ戦略とミニマックス戦略について

まずは、マックスミニ戦略とミニマックス戦略について紹介していこうかと思います。

れん
れん
ここさえ理解してしまえば簡単ですよ!

①:マックスミニ戦略とは

まずは、マックスミニ戦略について紹介していこうかと思います。

マックスミニ戦略とは、「最小値の中で、最大となる戦略」を意味します。

れん
れん
わかりやすく具体例を用いて解説していきます

以下のような2人ゼロサムゲームを考えていきます。

1\2 戦略1 戦略2 最小値(min)
戦略1 4 8
戦略2 6 9
戦略3 2 4
最大値(max)

この時、プレイヤー1が最大化プレイヤー、プレイヤー2が最小化プレイヤーです。

れん
れん
2人ゼロサムゲームに不安がある方はこちらの記事を参考にしてくださいね

プレイヤー1の各戦略ごとの最小値を求めてみると、以下のようになります。

1\2 戦略1 戦略2 最小値(min)
戦略1 4 8 4
戦略2 6 9 6
戦略3 2 4 2
最大値(max)

この最小値の中の最大値をとるのは戦略2をとったときの6ということがわかるかと思います。

つまり、プレイヤー1のマックスミニ戦略は戦略2をとるということになります。

$maxmin$戦略を、$max(最小値)$と覚えてしまうのが簡単かもしれません。

マックスミニ戦略とは

「最大値の中における最小値」をとる戦略のこと。

$max(最小値)$と覚えるとわかりやすい。

②:ミニマックス戦略とは

ミニマックス戦略とは、「最大値の中における最小値」を意味します。

わかりやすくするために、先ほどと同じ例を用いて解説していこうかと思います。

1\2 戦略1 戦略2 最小値(min)
戦略1 4 8 4
戦略2 6 9 6
戦略3 2 4 2
最大値(max) 6 9

プレイヤー2の各戦略における最大値は、戦略1をとったときに6、戦略2をとったときに9となります。

つまり、最大値の中の最小値は戦略1をとった時の6となります。

よって、プレイヤー2のミニマックス戦略は、戦略1をとることになり、ミニマックス値は6になります。

ミニマックス戦略とは

「最小値の中における最大値」をとる戦略のこと。

$min(最大値)$と覚えるとわかりやすい。

マックスミニ戦略とミニマックス戦略の求め方

それでは、具体的にマックスミニ戦略とミニマックス戦略を求めるステップについて解説していきます。

求めるステップ
  1. 最大化プレイヤーと最小化プレイヤーを区別する
  2. 各戦略の最大値・最小値を求める
  3. ②で求めた最大値・最小値の中での最大値や最小値を求める
れん
れん
それでは個別にみていきましょう!

【問題】

以下の双行列ゲームにおけるマックスミニ戦略とミニマックス戦略を純粋戦略の範囲で求めよ。

プレイヤー2
戦略1 戦略2
プレイヤー1 戦略1 3 8
戦略2 2 5

①:最大化プレイヤーと最小化プレイヤーを区別する

まず、2人ゼロサムゲームでマックスミニ戦略やミニマックス戦略の話になった場合、最大化プレイヤーと最小化プレイヤーを区別しましょう。

このときに、双行列ゲームの右端と一番下に$min$$max$の項目を追加してしまいましょう。

プレイヤー2
戦略1 戦略2 min
プレイヤ1 戦略1
戦略2
max

こうすることで、グッと解きやすくなります。

②:各戦略の最大値・最小値を求める

続いては、各戦略の最大値と最小値を求めていきます。

これはステップ①で項目を1つ追加しているので簡単に求めることができます。

サクサク解いていきましょう!

プレイヤー2
戦略1 戦略2 $min$
プレイヤ1 戦略1
戦略2
$max$

③:②で求めた最大値・最小値の中での最大値や最小値を求める

そして、最後のステップとして最大値の中の最小値(ミニマックス戦略)と、最小値の中の最大値(マックスミニ戦略)を求めていきましょう。

これで全て求めることができましたね。

ちなみに、今回のようにマックスミニ戦略とミニマックス戦略の値が等しい点を鞍点(あんてん)と呼びます。

れん
れん
鞍点に関してはこちらの記事で解説しています!

マックスミニ戦略もミニマックス戦略も簡単です

今回は、マックスミニ戦略とミニマックス戦略の求め方について解説しました。

正直、マックスなのかミニなのかよくわからなかった方も理解できたのではないでしょうか。

他の記事ではゲーム理論やミクロ経済学、マクロ経済学に関する解説記事も執筆しているのでよかったら参考にしてみてくださいね。

以上:マックスミニ戦略とミニマックス戦略|意味や求め方をわかりやすく解説でした。