- ゲーム理論を学習している人
- 支配戦略についてしっかり理解したい人
- 支配戦略を理解して、ナッシュ均衡を求めることができるようになりたい人
今回は、ゲーム理論における支配戦略について紹介していこうかと思います。
支配戦略とは、ゲーム理論の序盤で学習する内容であり、ナッシュ均衡を求める場合によく使います。
そんな便利な支配戦略について、今回は誰でもわかるように紹介していこうかと思います。
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支配戦略には強支配戦略と弱支配戦略があります
まず、支配戦略には強支配戦略と弱支配戦略の２つが存在します。
東工大生れんきちんと区別して理解していきましょう
強支配戦略について
まずは、強支配戦略についてです。
強支配の定義は以下のようになっています。
$\overline{s_i}$が、$s_i \in S_i$を強支配する
$\Leftrightarrow$
全ての$t_j \in S_j$$(j \neq i)$に対し、$f_i(t_1, t_2, …, \overline{s_i}, …, t_n)$ $>$ $f_i(t_1, t_2, …, s_i, …, t_n)$
これだけでは何を言っているんのかわからないと思うので、具体的にみていきましょう。
| Aさん\Bさん | 戦略１ | 戦略２ |
| 戦略１ | $(8, 6)$ | $(2, 7)$ |
| 戦略２ | $(4, 9)$ | $(1, 8)$ |
仮にこのような双行列ゲームがあったとします。
左側がAさんの利得、右側がBさんの利得になっています。
例えば、Bさんが戦略１をとった場合を考えていきましょう。
| Aさん\Bさん | 戦略１ | 戦略２ |
| 戦略１ | $(8, 6)$ | $(2, 7)$ |
| 戦略２ | $(4, 9)$ | $(1, 8)$ |
すると、Aさんは戦略１をとった方が利得が大きくなることがわかります。
同じようにBさんが戦略２をとった場合を考えてみると、Aさんは戦略２をとった方が利得が大きくなりますよね。
つまり、Bさんがどんな戦略をとってきたとしても、Aさんは戦略１を選んだ方が戦略２を選んだ時よりも利得が大きくなります。
このような状態のことを、Aさんの戦略１は戦略２を強支配していると表現します。
東工大生れんつまり、どの戦略をとっても負けることがない場合
強支配していると考えることができます！
弱支配戦略について
続いては弱支配についてです。
一般的に、支配戦略というとこちらの弱支配戦略を指します。
弱支配戦略の定義は以下のようになっています。
$\overline{s_i}$が、$s_i \in S_i$を強支配する
$\Leftrightarrow$
全ての$t_j \in S_j$$(j \neq i)$に対し、$f_i(t_1, t_2, …, \hat{s_i}, …, t_n)$ $\geq$ $f_i(t_1, t_2, …, s_i, …, t_n)$
かつ、少なくとも一つの戦略の組$(\hat{t_1}, \hat{t_2}, …,\hat{t_{i-1}}, \hat{t_{i+1}}, …, \hat{t_n})$に対して、
$f_i(\hat{t_1}, \hat{t_2}, …,\hat{s_i}, …, \hat{t_n})$ $>$ $f_i(\hat{t_1}, \hat{t_2}, …,s_i, …, \hat{t_n})$が成り立つ
これはどういうことかというと、
- 相手がどんな戦略をとってもある戦略１の与える利得が他の戦略２の利得以上
- 戦略１の利得と戦略２の利得は全て同じになることはない
という２つを満たした時に弱支配しているということになります。
東工大生れん具体例を用いてみていきましょう！
双行列ゲーム①
| Aさん\Bさん | 戦略１ | 戦略２ |
| 戦略１ | $(3, 5)$ | $(4, 6)$ |
| 戦略２ | $(8, 2)$ | $(4, 4)$ |
双行列ゲーム②
| Aさん\Bさん | 戦略１ | 戦略２ |
| 戦略１ | $(８, 5)$ | $(4, 6)$ |
| 戦略２ | $(8, 2)$ | $(4, 4)$ |
まずは、この２つの双行列ゲームを考えていきましょう。
双行列ゲーム①に関しては、Aさんの戦略１は戦略２に弱支配されていますよね。
一方、双行列ゲーム②に関しては、Aさんの戦略１は戦略２に弱支配されているのでしょうか？
答えは「いいえ」です。
東工大生れんBさんが戦略１・２をとった時、Aさんの利得は戦略１をとった時も戦略２をとった時も同じになってしまうからです
なんとなく理解できたでしょうか？
次からは、この弱支配戦略の考え方を利用して逐次消去によるナッシュ均衡を求めていこうと思います。
戦略の逐次消去によるナッシュ均衡の求め方
それでは、ここから戦略の逐次消去を用いたナッシュ均衡の求め方を紹介していこうと思います。
東工大生れん逐次消去とは、双行列ゲームで弱支配されている戦略を消していく方法です
支配されている戦略を次々と消去していくプロセスのこと。
ナッシュ均衡を求める時にとても役立つ。
それでは、逐次消去を用いてナッシュ均衡を実際に求めてみましょう。
問題
この双行列ゲームにおける純粋戦略ナッシュ均衡を、逐次消去を用いて求めよ。
| Aさん\Bさん | 戦略１ | 戦略２ |
| 戦略１ | $(4, 5)$ | $(3, 9)$ |
| 戦略２ | $(2, 7)$ | $(2, 7)$ |
①：支配している戦略を消去する
まず、最初のステップとして支配されている戦略を考えていきます。
まずはAさんからみていきましょう。
問題
| Aさん\Bさん | 戦略１ | 戦略２ |
| 戦略１ | $($$4$$, 5)$ | $($$3$$, 9)$ |
| 戦略２ | $($$2$$, 7)$ | $($2$, 7)$ |
よく見てみると、戦略１が戦略２を強支配していることがわかります。
東工大生れんBさんが戦略１をとったときのAさんの利得が赤色、Bさんが戦略２をとったときの利得が青色で表現しています
よって、Aさんの戦略２を無かったものとして考えていきます。
②：残った戦略の中でナッシュ均衡を求めていく
すると、双行列ゲームは以下のようになります。
問題
| Aさん\Bさん | 戦略１ | 戦略２ |
| 戦略１ | $(4, $$5$$)$ | $(3, $$9$$)$ |
よって、Bさんの利得を比べてみると戦略２が戦略１を強支配していることがわかります。
つまり、$(戦略１, 戦略２)$がナッシュ均衡となります。
東工大生れん慣れてしまえば簡単ですね！
例題を通して理解を深めていきましょう
東工大生れん記事を最後まで読んでいただき、ありがとうございます！
最後に、３分だけ時間をください！
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