ゲーム理論

支配戦略|ゲーム理論における支配戦略を簡単に解説します|逐次消去

こんな人におすすめ
  • ゲーム理論を学習している人
  • 支配戦略についてしっかり理解したい人
  • 支配戦略を理解して、ナッシュ均衡を求めることができるようになりたい人

今回は、ゲーム理論における支配戦略について紹介していこうかと思います。

支配戦略とは、ゲーム理論の序盤で学習する内容であり、ナッシュ均衡を求める場合によく使います。

そんな便利な支配戦略について、今回は誰でもわかるように紹介していこうかと思います。

支配戦略には強支配戦略と弱支配戦略があります

まず、支配戦略には強支配戦略と弱支配戦略の2つが存在します。

れん
れん
きちんと区別して理解していきましょう!

強支配戦略について

まずは、強支配戦略についてです。

強支配の定義は以下のようになっています。

強支配の定義

$\overline{s_i}$が、$s_i \in S_i$を強支配する

$\Leftrightarrow$

全ての$t_j \in S_j$$(j \neq i)$に対し、$f_i(t_1, t_2, …, \overline{s_i}, …, t_n)$ $>$ $f_i(t_1, t_2, …, s_i, …, t_n)$

れん
れん
わかりやすく具体例でみていきましょう
Aさん\Bさん 戦略1 戦略2
戦略1 $(8, 6)$ $(2, 7)$
戦略2 $(4, 9)$ $(1, 8)$

仮にこのような双行列ゲームがあったとします。

左側がAさんの利得、右側がBさんの利得になっています。

例えば、Bさんが戦略1をとった場合を考えていきましょう。

Aさん\Bさん 戦略1 戦略2
戦略1 $(8, 6)$ $(2, 7)$
戦略2 $(4, 9)$ $(1, 8)$

すると、Aさんは戦略1をとった方が利得が大きくなることがわかります。

同じようにBさんが戦略2をとった場合を考えてみると、Aさんは戦略2をとった方が利得が大きくなりますよね。

つまり、Bさんがどんな戦略をとってきたとしても、Aさんは戦略1を選んだ方が戦略2を選んだ時よりも利得が大きくなります。

このような状態のことを、Aさんの戦略1は戦略2を強支配していると表現します。

れん
れん
わかってしまえば簡単ですね

弱支配戦略について

続いては弱支配についてです。

一般的に、支配戦略というとこちらの弱支配戦略を指します。

れん
れん
今回も簡単に定義の方を紹介していきますね
弱支配戦略の定義

$\overline{s_i}$が、$s_i \in S_i$を強支配する

$\Leftrightarrow$

全ての$t_j \in S_j$$(j \neq i)$に対し、$f_i(t_1, t_2, …, \hat{s_i}, …, t_n)$ $\geq$ $f_i(t_1, t_2, …, s_i, …, t_n)$

かつ、少なくとも一つの戦略の組$(\hat{t_1}, \hat{t_2}, …,\hat{t_{i-1}},  \hat{t_{i+1}}, …, \hat{t_n})$に対して、

$f_i(\hat{t_1}, \hat{t_2}, …,\hat{s_i}, …, \hat{t_n})$ $>$ $f_i(\hat{t_1}, \hat{t_2}, …,s_i, …, \hat{t_n})$が成り立つ

これはどういうことかというと、

  1. 相手がどんな戦略をとってもある戦略1の与える利得が他の戦略2の利得以上
  2. 戦略1の利得と戦略2の利得は全て同じになることはない

という2つを満たした時に弱支配しているということになります。

れん
れん
具体例を用いて解説していきますね

双行列ゲーム①

Aさん\Bさん 戦略1 戦略2
戦略1 $(3, 5)$ $(4, 6)$
戦略2 $(8, 2)$  $(4, 4)$

双行列ゲーム②

Aさん\Bさん 戦略1 戦略2
戦略1 $(8, 5)$ $(4, 6)$
戦略2 $(8, 2)$  $(4, 4)$

まずは、この2つの双行列ゲームを考えていきましょう。

双行列ゲーム①に関しては、Aさんの戦略1は戦略2に弱支配されていますよね。

一方、双行列ゲーム②に関しては、Aさんの戦略1は戦略2に弱支配されているのでしょうか?

答えは「いいえ」です。

れん
れん
Bさんが戦略1・2をとった時、Aさんの利得は戦略1をとった時も戦略2をとった時も同じになってしまうからです

なんとなく理解できたでしょうか?

次からは、この弱支配戦略の考え方を利用して逐次消去によるナッシュ均衡を求めていこうと思います。

戦略の逐次消去によるナッシュ均衡の求め方

それでは、ここから戦略の逐次消去を用いたナッシュ均衡の求め方を紹介していこうと思います。

れん
れん
逐次消去とは、双行列ゲームで弱支配されている戦略を消していく方法です
逐次消去とは

支配されている戦略を次々と消去していくプロセスのこと。

ナッシュ均衡を求める時にとても役立つ。

それでは、逐次消去を用いてナッシュ均衡を実際に求めてみましょう。

問題

この双行列ゲームにおける純粋戦略ナッシュ均衡を、逐次消去を用いて求めよ。

Aさん\Bさん 戦略1 戦略2
戦略1 $(4, 5)$ $(3, 9)$
戦略2 $(2, 7)$ $(2, 7)$

①:支配している戦略を消去する

まず、最初のステップとして支配されている戦略を考えていきます。

まずはAさんからみていきましょう。

問題

Aさん\Bさん 戦略1 戦略2
戦略1 $($$4$$, 5)$ $($$3$$, 9)$
戦略2 $($$2$$, 7)$ $($2$, 7)$

よく見てみると、戦略1が戦略2を強支配していることがわかります。

れん
れん
Bさんが戦略1をとったときのAさんの利得が赤色、Bさんが戦略2をとったときの利得が青色で表現しています

よって、Aさんの戦略2を無かったものとして考えていきます。

②:残った戦略の中でナッシュ均衡を求めていく

すると、双行列ゲームは以下のようになります。

問題

Aさん\Bさん 戦略1 戦略2
戦略1 $(4, $$5$$)$ $(3, $$9$$)$

よって、Bさんの利得を比べてみると戦略2が戦略1を強支配していることがわかります。

つまり、$(戦略1, 戦略2)$がナッシュ均衡となります。

れん
れん
慣れてしまえば簡単ですね!

例題を通して理解を深めていきましょう