３人のナッシュ均衡｜わかりやすく３×３のナッシュ均衡の求め方を解説

今回は、３人におけるナッシュ均衡をわかりやすく求めていこうかと思います。

２人の時と異なり、少し複雑になるものの理解してしまえば簡単に求めることができます。

参考：ナッシュ均衡｜わかりやすく純粋戦略ナッシュ均衡を解説します｜例題つき

それでは、３人における純粋戦略ナッシュ均衡を求めていきましょう！

３人における純粋戦略ナッシュ均衡の求め方

また、今回の例題以下の問題を考えていくことにします。

①：まずは戦略形ゲームに書き換える

まず、ひとつ目のステップとしては、戦略形ゲームに書き換えるところから始めます。

戦略形ゲームを書く場合は、３人だと１つの表にまとめることができません。

そのため、AさんとBさんとCさんがいた場合はCさんの戦略を固定した場合の戦略形ゲームをCさんの戦略の組の数だけ書いていきます。

表現し終えたら、次のステップに進んでいきましょう。

②：自分以外のプレイヤーの戦略に対する最適戦略を選ぶ

次のステップとしては、自分以外のプレイヤーの戦略を固定した場合の最適戦略を求めていきます。

まずは、プレイヤー２が戦略１をとる場合を考えていきましょう。

２人の場合と区別しないといけないのは、プレイヤー３の戦略に応じても場合わけをする必要があるということになります。

プレイヤー１と２の最適反応戦略を求めると以下のようになります。

さて、ここからややこしくなりますがプレイヤー３の最適反応戦略を求めていきましょう。

つまり、

1. プレイヤー１が戦略１・プレイヤー２が戦略１
2. プレイヤー１が戦略１・プレイヤー２が戦略２
3. プレイヤー１が戦略２・プレイヤー２が戦略１
4. プレイヤー１が戦略２・プレイヤー２が戦略２

の４つの場合の最適反応戦略を求めていきます。

まずは、①の場合、つまり「プレイヤー１が戦略１・プレイヤー２が戦略１」を取る場合を考えていきます。

この時、プレイヤー３は戦略２を選択した方が利得が大きくなりますよね。

つまり「プレイヤー１が戦略１・プレイヤー２が戦略１」を取る場合において、プレイヤー３は戦略２を選ぶことが最適反応戦略になるということです。

残りの３パターンについては自分で考えてみてくださいね。

答えは下のボックスに書いてあります。

３人おける純粋戦略ナッシュ均衡の例題｜じゃんけん

さて、ここからは３人における純粋戦略均衡の例題を紹介していきます。

それでは、早速この問題を一緒に解いていきましょう！

①：まずは戦略形ゲームに直す

まずは、文章題のゲームを戦略形ゲームに直していきましょう。

AさんとBさんとCさんがいた場合はCさんの戦略を固定した場合の戦略形ゲームをCさんの戦略の組の数だけ書いていきます。

つまり、今回Cさんの戦略を固定したと考えると、Cさんの戦略としてはグー・チョキ・パーの３択になります。

よって、３つ戦略形ゲームを書くことになりますね。

[ac-box01 title=”戦略形ゲームの回答”]

〜Cさんがグーを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$	$(0, 6, 0)$
チョキ	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 3)$	$(0, 0, 0)$
パー	$(6, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$

〜Cさんがチョキを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$(0, 0, 0)$	$(3, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$
チョキ	$(0, 3, 0)$	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$
パー	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 6)$

〜Cさんがパーを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$(0, 0, 6)$	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$
チョキ	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 0)$	$(6, 0, 0)$
パー	$(0, 0, 0)$	$(0, 6, 0)$	$(0, 0, 0)$

[/ac-box01]

②：プレイヤー３の戦略を固定して考える

さて、戦略形ゲームを書き終えてしまえばあと少しです。

次は、３つの戦略形ゲームからAさんとBさんの最適反応戦略を求めていきましょう。

これは、２人のナッシュ均衡を求めるステップと同じなのでササっと求めてしまいましょうね。

[ac-box01 title=”戦略形ゲームの回答”]

〜Cさんがグーを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$(0, 0, 0)$	$($$0$$, 0, 0)$	$($$0$$, $6$, 0)$
チョキ	$(0, $$0$$, 0)$	$($$0$$, $$0$$, 3)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$
パー	$($$6$$, $$0$$, 0)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$

〜Cさんがチョキを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$($$3$$, $$0$$, 0)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$
チョキ	$($$0$$, $$3$$, 0)$	$(0, 0, 0)$	$($$0$$, 0, 0)$
パー	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$(0, $$0$$, 0)$	$($$0$$, $$0$$, 6)$

〜Cさんがパーを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$($$0$$, $$0$$, 6)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$(0, $$0$$, 0)$
チョキ	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$($$6$$, $$0$$, 0)$
パー	$($$0$$, 0, 0)$	$($$0$$, $$6$$, 0)$	$(0, 0, 0)$

[/ac-box01]

③：最後にプレイヤー３の最適反応戦略を考える

そして、最後にプレイヤー３の最適反応戦略を考えていきましょう。

まずは一緒にAさんとBさんが共にグーを出すときを考えていきます。

すると、Cさんはパーを出す時の利得が一番大きくなることがわかりますね。

つまり、この時の最適反応戦略はパーを出すということになります。

これを残り８パターン行うと以下のようになります。

[ac-box01 title=”Cさんの最適反応戦略”]

〜Cさんがグーを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$(0, 0, 0)$	$($$0$$, 0, $$0$$)$	$($$0$$, $6$, $$0$$)$
チョキ	$(0, $$0$$, $$0$$)$	$($$0$$, $$0$$, $$3$$)$	$($$0$$, $$0$$, $$0$$)$
パー	$($$6$$, $$0$$, $$0$$)$	$($$0$$, $$0$$, $$0$$)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$

〜Cさんがチョキを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$($$3$$, $$0$$, $$0$$)$	$($$0$$, $$0$$, $$0$$)$
チョキ	$($$0$$, $$3$$, $$0$$)$	$(0, 0, 0)$	$($$0$$, 0, $$0$$)$
パー	$($$0$$, $$0$$, $$0$$)$	$(0, $$0$$, $$0$$)$	$($$0$$, $$0$$, $$6$$)$

〜Cさんがパーを出す時〜

Aさん\Bさん	グー	チョキ	パー
グー	$($$0$$, $$0$$, $$6$$)$	$($$0$$, $$0$$, $$0$$)$	$(0, $$0$$, $$0$$)$
チョキ	$($$0$$, $$0$$, $$0$$)$	$($$0$$, $$0$$, 0)$	$($$6$$, $$0$$, $$0$$)$
パー	$($$0$$, 0, $$0$$)$	$($$0$$, $$6$$, $$0$$)$	$(0, 0, 0)$

よって、今回の純粋戦略ナッシュ均衡は、AさんもBさんもCさんも最適反応戦略をとっている場合となります。

[/ac-box01]

３人の純粋戦略ナッシュ均衡は恐れる必要はありません

今回は、３人の純粋戦略ナッシュ均衡の求め方について紹介しました。

純粋戦略ナッシュ均衡を求める問題での最難関が今回紹介した３人の場合です。

今回の記事を参考にして、３人のナッシュ均衡は確実に求められるようにトレーニングしておきましょう。