3人の混合戦略ナッシュ均衡｜３人の場合の求め方をわかりやすく解説

今回は、３人の混合戦略ナッシュ均衡の求め方を解説していこうと思います。

２×３の混合戦略ナッシュ均衡も難易度の高い問題ですが、３人の場合もかなり難易度は高くなります。

ですが、この問題をマスターできればかなり差をつけることができます。

それでは、早速実際の過去問を利用して解き方を学んでいきましょう。

３人の場合の混合戦略ナッシュ均衡の求め方

それでは、今回は東京工業大学の経営工学系の大学院入試の過去問を実際に利用して解き方を解説していこうかと思います。

それでは、今回の問題はこちらになります。

①：混合戦略に関する定理を利用する

まずは、混合戦略に関する定理を利用してナッシュ均衡を求めていきます。

よって、今回の場合は以下の３式が成り立つ必要があります。

1. $4p(1 – q)r + p(1 – q)(1 – r)$ $= 2(1 – p)qr + 2(1 – p)q(1 – r)$
2. $4(1 – p)qr + 4(1 – p)q(1 – r)$ $= 8p(1 – q)r + 2p(1 – q)(1 – r)$
3. $-2(1 – p)qr -3p(1 – q)r$ $= -4(1 – p)q(1 – r) -p(1 – q)(1 – r)$

これを連立して解くと、$p = \frac{1}{2}$$q = \frac{1}{2}$$r = \frac{1}{3}$となります。

よって、$((\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}))$はナッシュ均衡の１つになります。

次からは、一旦プレイヤー３が純粋戦略を取ると仮定して問題を解いていきます。

②：プレイヤー３が純粋戦略をとるとして仮定

まずは、各プレイヤーの選択肢は２つなので、一方の確率を$p$とおいた場合もう一方の確率は$1-p$になることはわかるかと思います。

そのため、今回もプレイヤー１の戦略１をとる確率を$p$、プレイヤー２の戦略１を取る確率を$q$とおきます。

この時に、プレイヤー３の利得を考えていきます。

プレイヤー３が戦略$i$を取るときの利得を$E_{3i}$と表現します。

すると、

$E_{31}$ $= -2(1 – p)q$ $+$ $(-3)p(1 – q)$

$= 5pq – 2q – 3p$

$E_{32}$ $= -4(1-p)q$ $+$ $(-1)p(1 – q)$

$= 5pq – 4q – p$

となります。

③：プレイヤー３がどういう条件で戦略を変えるかチェック

次にすることは、プレイヤー３がどのように戦略を変えるのかを考えることです。

つまり、どのような条件で$E_{31} > E_{32}$となるのかを確かめていきます。

$E_{31} > E_{32}$

$\Leftrightarrow$ $-2q – 3p > -4q – p$

$\Leftrightarrow$ $2q > 2p$

$\Leftrightarrow$ $q > p$

つまり、

• $q  > p$の時は戦略１
• $q < p$の時は戦略２
• $q = p$の時は任意の戦略

ということがわかります。

これを活かして、次にプレイヤー１とプレイヤー２の最適反応戦略を求めていきます。

④：プレイヤー３の条件のもと各プレイヤーの混合戦略をチェック

さて、プレイヤー１の利得を$E_1$とするとこのようになります。

$\begin{eqnarray}E_1  &=&\left\{\begin{array}{l}4p(1-q) + 2q(1-p)\ (q > p)の時\\p(1-q) + 2q(1-p)\ (q < p)の時\end{array}\right.\\\\&=&\left\{\begin{array}{l}(4  – 6q)p + 2q\ (q > p)の時\\(1 – 3p) + 2q\ (q < p)の時\end{array}\right.\end{eqnarray}$

同じように、プレイヤー２の利得を求めると下のようになります。

$E_2  =\left\{\begin{array}{l}(4 – 12p)q + 8p\ (q > p)の時\\(4 – 6p)q + 2p\ (q < p)の時\end{array}\right.$

よって、$q > p$と$q < p$で場合わけをしてグラフを書いていきましょう。

⑤：場合わけをして均衡を求める

それでは、具体的にナッシュ均衡を全て求めていきます。

プレイヤー３がどの戦略を取るかに気をつけながら３種類で場合わけをしていきます。

Ⅰ：$q > p$の場合

まずは、$q > p$の場合を考えていきます。

$q > p$の場合、プレイヤー３は戦略１をとります。

そのもとで、$E_1$と$E_2$のグラフを書いていきましょう。

$q > p$に注目すると赤色の丸の部分が混合戦略ナッシュ均衡になっていることがわかります。

よって、このときの混合戦略ナッシュ均衡は

$((\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \frac{1}{3}), (1, 0))$と$((0, 1), (1, 0), (1, 0))$になります。

Ⅱ：$q < p$の場合

次に、$q < p$の場合を考えていきます。

$q < p$の場合、プレイヤー３は戦略２をとります。

そのもとで、$E_1$と$E_2$のグラフを書いていきましょう。

$q < p$に注目すると赤色の丸の部分が混合戦略ナッシュ均衡になっていることがわかります。

よって、このときの混合戦略ナッシュ均衡は

$((\frac{2}{3}, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), (1, 0))$と$((1, 0), (0, 1), (0, 1))$になります。

Ⅲ：$p = q$の場合

最後に$q = p$の場合を考えていきます。

この場合は、一番最初にナッシュ均衡を求めているので省略します。

これでナッシュ均衡は完璧です

今回は、３人の混合戦略ナッシュ均衡を求めていきました。

正直、このレベルまで解けるようになればほとんどの問題を解くことができると思います。

期末試験や経済大学院を受験予定の方はぜひ演習問題もこなしてくださいね。

以上：３人の混合戦略ナッシュ均衡の求め方でした。