ゲーム理論

【バンザフ指数】バンザフ投票力指数の求め方が5分で完璧にわかります!【ゲーム理論】

経営工学徒レン
経営工学徒レン

こんにちは!都内理系大学で経営工学を専攻しているレンです。

今回は、バンザフ投票力指数の定義から求め方までを解説していきます。

投票力指数で有名なのはシャープレイ・シュービック投票力指数ですが、バンザフ投票力指数も期末試験や大学院入試でよく出るので注意が必要です。

シャープレイ・シュービック投票力指数は扱っているものの、ハンザフ投票力指数については扱っていない参考書なども多いので対策がしにくい分野でもあります。

経営工学徒レン
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実際に、ゲーム理論の演習書でおすすめしている「演習ゲーム理論」でもバンザフ投票力指数は扱っていません・・・

そこで、今回は5分でわかるようにバンザフ投票力指数の求め方について紹介していこうかと思います!

バンザフ指数の定義について

まずは、バンザフ指数の定義について紹介していきます。

バンザフ指数の定義は以下のようになっています。

バンザフ指数の定義

$$\beta_i = \frac{S\cup{i}\in W, S\notin W を満たす提携Sの個数}{2^{n-1}}$$

$\beta_i$:プレイヤー$i$のバンザフ指数

花子ちゃん
花子ちゃん
バンザフ指数の定義についてはなんとなくわかったようなわからないような・・・

 

バンザフ指数の具体的な計算方法

それでは、ここからバンザフ指数の具体的な計算方法について紹介していきます。

ステップとしては2つだけなので理解できれば簡単に求めることができますよ!

バンザフ指数の計算方法
  1. 勝利提携$W$を全て書き上げる
  2. 各プレイヤー$i$に対して$i$が勝利提携$W$からいなくなった時に、勝利提携$W$でなくなる提携の個数を数える
経営工学徒レン
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それでは個別に詳しく解説していきます!

①:勝利提携を全て書き上げる

バンザフ指数を求める問題では、まずは勝利提携Wを全て書き上げましょう。

例えば、以下のような重み付き投票ゲームを考えていきます。

$$\{W|q_A, q_B, q_C, q_D\} = \{4|3, 2, 1, 1\}$$

花子ちゃん
花子ちゃん
これの勝利提携はこうなるよね??

$$W = \{ABCD, ABC, ABD, ACD, BCD, AB, AC, AD\}$$

経営工学徒レン
経営工学徒レン
その通りだよ!

各プレイヤーの重み付きの投票力の和が4以上になるようなプレイヤーの組み合わせを全て考えればオッケー!

これで全ての勝利提携を求めることができました。

②:勝利提携からプレイヤー$i$がいなくなった時を考える

次に考えることは、勝利提携からプレイヤーiがいなくなった場合を考えていきます。

ここでは簡単にプレイヤーBについて考えていこうかと思います。

先ほど同じ問題を考えていきます。

すると、勝利提携は以下のようになります。

$$W = \{ABCD, ABC, ABD, ACD, BCD, AB, AC, AD\}$$

そして、次にプレイヤーBが含まれている勝利提携について調べていきます。

今回の例だと、赤字の提携にプレイヤーBが含まれていますよね。

$$W = \{\textcolor{red}{ABCD}, \textcolor{red}{ABC}, \textcolor{red}{ABD}, ACD, \textcolor{red}{BCD}, \textcolor{red}{AB}, AC, AD\}$$

さて、ここからはプレイヤーBが含まれている提携からプレイヤーBがいなくなった場合を考えていきます。

$$\{ACD, AC, AD, CD, A\}$$

この集合の中で、プレイヤーBがいなくなっても勝利提携に属している提携を青色で表記すると、以下のようになります。

$$\{\textcolor{blue}{ACD}, \textcolor{blue}{AC}, \textcolor{blue}{AD}, CD, A\}$$

つまり、プレイヤーBがいなくなってしまうと勝利提携から外れてしまう(これをピボットと言います)提携の個数は2つとわかります。

よって、プレイヤーBのバンザフ指数は

$$\beta_B = \frac{2}{2^{4-1}}$$
$$= \frac{1}{4}$$

となります。

経営工学徒レン
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コツさえわかってしまえば簡単に求めることができるので、きちんと対策しましょうね!
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